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    100M100P100Q81717F
  • License MIT

面向 AI 架构创新的数学研究操作系统 v3：三层正交架构（思想透镜 / 数学知识库 / 设计翻译层），自动诊断用户意图并路由。Math Research OS for AI architecture design: thinking lenses + math knowledge base + design translation layer with auto intent diagnosis.

Package Exports

    This package does not declare an exports field, so the exports above have been automatically detected and optimized by JSPM instead. If any package subpath is missing, it is recommended to post an issue to the original package (math-skill) to support the "exports" field. If that is not possible, create a JSPM override to customize the exports field for this package.

    Readme

    中文 | English

    📐 Math Skill — 面向 AI 架构创新的数学研究操作系统

    思想系统不负责给定理，知识系统不负责乱启发，设计层不负责装深刻。

    License: MIT npm version npm downloads

    如果这个项目对你有所启发，请不吝点亮一颗 Star⭐。 每一个 Star 都是对数学之美的共鸣，也是支撑这个项目继续前行的力量。欢迎每一位热爱数学、在数学海洋中遨游的同行者。

    灵感来源

    Sophus Lie 打造"屠龙刀"的故事告诉我们：为解微分方程发明的李群-李代数，最终成为描述对称性、机器人状态估计的通用语言——数学工具的价值远超初衷，这正是「跨领域激活」的原型。详见 references/inspiration.md。

    数学最迷人的地方：为特定问题发明的工具，在完全不同的领域展现出远超初衷的价值。

    核心理念

    当你面对一个 AI 研究问题时，这个系统帮你回答四个问题：

    1. 该用什么数学思想看？ → 思想透镜
    2. 需要查什么具体数学知识？ → 知识库
    3. 怎么把数学变成模型设计？ → 设计翻译层
    4. 这个设计是否数学上靠谱、工程上可行？ → 批判器
    问题
 ↓
思想透镜：这个问题该用什么视角看？
 ↓
数学知识：这个视角需要哪些具体数学工具？
 ↓
设计翻译：这些工具怎么变成模型结构 / loss / 算子？
 ↓
批判器：数学上站得住、工程上跑得动吗？

    三层正交架构

    层 职责 目录 文件数
    思想透镜 诊断问题结构，推荐数学视角 lenses/*.md 15
    数学知识 提供具体数学工具（定义/定理/公式） knowledge-base/*/*.md 31
    设计翻译 把数学变成 AI 模块/loss/算子 design-patterns/*/*.md 22

    辅助层：

    • references/books/*.md：7 本书蒸馏稿，需要深入时的完整上下文
    • references/gpu-friendly-math.md：GPU 八维验收门
    • agents/math-critic.md：数学-工程双重批判器

    15 个思想透镜

    透镜 文件 核心视角
    公理化 lenses/axiomatization.md 审查假设的相容性/独立性/完备性
    对偶 lenses/duality.md 转换到对偶空间暴露约束与不变量
    对称性 lenses/symmetry.md 变换下的不变量与守恒律
    谱分解 lenses/spectral.md 特征值/奇异值揭示主导结构
    几何 lenses/geometric.md 度量/曲率/流形上的空间结构
    投影与分解 lenses/projection.md 正交分解、子空间分离、冲突消除
    变分 lenses/variational.md 约束下极值、能量最小化
    局部到整体 lenses/local-to-global.md 局部性质拼接为全局、层上同调障碍
    拓扑 lenses/topological.md 连续变形不变量、连通性、空洞
    范畴化 lenses/categorical.md 泛性质、函子、自然变换
    扰动 lenses/perturbation.md 小扰动的传播、稳定性、鲁棒性
    因果 lenses/causal.md 相关≠因果、干预、反事实
    博弈 lenses/game.md 多方策略互动、均衡、机制设计
    概率统计 lenses/probabilistic.md 量化不确定性、贝叶斯更新
    算法 lenses/algorithmic.md 复杂度、可行性、并行性

    知识库（按数学领域）

    领域 知识卡片
    矩阵分析 projection, spectral-decomposition, low-rank-approximation, positive-semidefinite, matrix-perturbation
    最优化 lagrangian-duality, convex-optimization, constrained-optimization, riemannian-optimization, proximal-method
    微分几何 manifold, tangent-space, metric-tensor, geodesic, curvature, connection
    李理论 group-action, lie-group, lie-algebra, representation, equivariance
    拓扑 persistent-homology, euler-characteristic, fundamental-group
    概率与信息 concentration-inequality, entropy, kl-divergence, information-bottleneck, fisher-information
    信息几何 natural-gradient, fisher-metric

    设计模式库（按 AI 组件）

    组件 设计模式
    注意力 projection-attention, spectral-attention, equivariant-attention, geometry-aware-attention, information-bottleneck-attention
    损失函数 orthogonality-loss, contrastive-loss, variational-loss, information-bottleneck-loss, constraint-penalty
    路由 optimal-transport-routing, graph-routing, moe-routing, spectral-clustering-routing
    表示 shared-private-decomposition, manifold-representation, equivariant-split, subspace-alignment
    压缩 low-rank-kv-cache, spectral-token-pruning, topology-preserving-compression, leverage-score-selection

    快速开始

    安装

    请帮我安装 math-skill：https://github.com/the-thinker0/math-skill，并教我如何使用

    手动安装：

    git clone https://github.com/the-thinker0/math-skill.git

    使用

    自动触发：系统自动诊断用户意图，路由到合适的层：

    场景 诊断信号 调用路径
    问题分析 "这个设计合理吗？" 透镜 → critic
    机制设计 "设计新 attention" 透镜 → 知识 → 设计 → critic
    知识查询 "切空间和梯度优化有什么关系？" 知识
    验证审查 "这个公式成立吗？" 知识 → critic
    纯工程 debug、重构、调参 不调用

    手动触发：

    /ask <你的问题>          # 智能诊断：自动判断场景并路由

    语言切换

    自动检测用户语言：中文消息返回中文输出，英文消息返回英文输出。

    工作流范例

    用户："设计新的 KV Cache 压缩方法，保留长期依赖，不想只做 top-k"

    第一步 诊断：场景 B（机制设计）
  问题类型：序列记忆压缩 + 信息保留 + 长程结构
  核心张力：压缩 token 数量 vs 不破坏长期依赖

第二步 透镜选择：
  1. 谱分解（保留主导子空间）
  2. 信息论（保留最大互信息状态）
  3. 拓扑（保留序列结构关键连接点）

第三步 知识查询：
  → low-rank-approximation（矩阵分析）
  → leverage-score-selection（矩阵分析）
  → information-bottleneck（概率与信息）

第四步 设计翻译：
  候选 A：Spectral KV Compression（低秩 + leverage score）
  候选 B：Information-Preserving Cache（query sensitivity）
  候选 C：Topology-Preserving Cache（图桥接节点保留）

第五步 Critic 审查：
  A 最 GPU 友好，B 需估计未来 query 有不确定性，C 图构建成本过高
  建议：优先 A，B 作轻量 gate

    目录结构

    math-skill/
├── skills/
│   └── math-research-activator/    # 总控：意图诊断 + 路由
├── lenses/                         # 15 个思想透镜（推理方法论）
├── knowledge-base/                 # 数学知识库（按领域组织）
│   ├── matrix-analysis/            # 矩阵分析（5 卡片）
│   ├── optimization/               # 最优化（5 卡片）
│   ├── differential-geometry/      # 微分几何（6 卡片）
│   ├── lie-theory/                 # 李理论（5 卡片）
│   ├── topology/                   # 拓扑（3 卡片）
│   ├── probability/                # 概率与信息（5 卡片）
│   └── information-geometry/       # 信息几何（2 卡片）
├── design-patterns/                # 设计翻译层（按 AI 组件组织）
│   ├── attention/                  # 注意力机制（5 模式）
│   ├── loss/                       # 损失函数（5 模式）
│   ├── routing/                    # 路由（4 模式）
│   ├── representation/             # 表示（4 模式）
│   └── compression/                # 压缩（4 模式）
├── references/                     # 参考层
│   ├── books/                      # 7 本书蒸馏稿
│   ├── gpu-friendly-math.md        # GPU 八维验收门
│   ├── agentic-workflow.md         # 协作方式
│   └── inspiration.md              # 灵感来源
├── agents/math-critic.md           # 数学-工程双重批判器
├── commands/ask.md                 # /ask 手动入口
├── math_book/                      # 本地 PDF（不发布）
└── README.md / LICENSE

    推荐书目

    # 书名 作者 出版社 / 版次 年份 ISBN 蒸馏文件
    1 Contemporary Abstract Algebra Joseph A. Gallian Brooks/Cole, Cengage, 8th ed. 2013 978-1-133-59971-5 abstract-algebra.md
    2 The Rising Sea: Foundations of Algebraic Geometry Ravi Vakil Princeton University Press 2025 978-0-691-26866-8 algebraic-geometry-rising-sea.md
    3 Manifolds and Differential Geometry Jeffrey M. Lee AMS, Graduate Studies in Math Vol. 107 2009 978-0-8218-4815-9 differential-geometry.md
    4 Matrix Analysis Roger A. Horn, Charles R. Johnson Cambridge University Press, 2nd ed. 2013 978-0-521-83940-2 matrix-analysis.md
    5 A micro Lie theory for state estimation in robotics Joan Solà et al. arXiv:1812.01537v9 2021 — micro-lie-theory.md
    6 An Introduction to Optimization, With Applications to ML Chong, Lu, Żak John Wiley & Sons, 5th ed. 2024 978-1-119-87763-9 optimization-ml.md
    7 Introduction to Smooth Manifolds John M. Lee Springer, GTM 218, 2nd ed. 2013 978-1-4419-9981-8 smooth-manifolds.md

    蒸馏文件已随 npm 包发布。如需全保真原文，将 PDF 放入 math_book/ 文件夹即可。

    变更日志

    v3.0.1 — Token 优化与双语补全

    • Emoji 清理：移除所有 skill 文件中的 emoji 符号，GPU 评级标记 ✅⚠️❌ 替换为文本 [v]/[~]/[x]，节约 ~1,400 tokens
    • 英文蒸馏稿补全：7 本书蒸馏稿新增英文翻译（references/books/*.en.md），commands/ask.en.md 新增英文入口
    • 混合语言路由：新增 5 条判定规则，解决中英混杂输入的路由问题（技术词不计入语言判定，按句式主框架判定）
    • GPU 维度缩写：八维标签从 **维度 N 全称** 压缩为 **DN**（D1-D8），定义于 gpu-friendly-math.md，额外节约 ~800-1,000 tokens
    • 术语统一、交叉引用修正及其他小问题修复

    v3.0.0 — 数学研究操作系统

    架构重构：从"思想武器库"升级为"数学参谋部"——三层正交架构：

    • 思想透镜（15 个）：从 v2 的"思想武器"瘦身而来，只保留推理方法论，不再混入具体数学知识
    • 知识库（31 张卡片）：按数学领域组织的具体工具卡片，含定义/公式/AI 设计翻译/GPU 可行性
    • 设计翻译层（新增）：数学→AI 模块的桥梁，按 AI 组件（attention/loss/routing/representation/compression）组织
    • Activator 重写：从环境信号匹配改为意图诊断（5 场景：分析/设计/查询/验证/工程）
    • 知识激活协议：知识卡片固定输出格式（最小定义→公式→适用问题→AI 翻译→工程可行性→风险）

    v2.1.0 — 完整双语支持

    • 全面双语（37 个 .en.md 文件）、自动语言路由、命令一致、token 保障

    v2.0.1

    • 收紧自动触发条件、新增排除门、环境信号收窄

    v2.0.0

    • 16 思想武器、现代数学激活层、GPU 八维横切

    v1.0.0

    • 初始发布：十五思想武器 + 科研与生活双路径

    许可证

    MIT License. 详见 LICENSE。

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